Storia di pi greco

By Antonio DeLisa on 31 gennaio 2018 • ( 0 )

Storia di pi greco

I popoli antichi spesso utilizzavano valori approssimati per esprimere il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. I babilonesi invece usavano per $pi$ il valore di 25/8 (usato anche da Vitruvio) mentre nel Papiro di Rhind i dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli Egizi assumevano il valore di (16/9)^2. Nell’Antico Testamento si dice in modo non esplicito che $pi$ = 3. Si trova infatti scritto:

« Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all’altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza »

(Cronache, 4:2)

Nel medioevo in India Brahmagupta utilizza il valore $sqrt {10}$ mentre in Cina Zu Chongzhi utilizza 355/113 valore che si discosta meno di 3 milionesimi dal valore corretto.

Il primo ad approssimare scientificamente pi greco fu Archimede di Siracusa che nel III secolo a.C. utilizzò poligoni regolari inscritti e circoscritti a una circonferenza. Aumentando il numero di lati il rapporto tra il perimetro e l’area limita superiormente e inferiormente $pi$ (vedi anche metodo di esaustione).

Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato greco scoprì che 223/71 < π < 22/7. Il metodo di Archimede verrà applicato fino all’epoca moderna. Nel 1610 Ludolph van Ceulen calcola le prime 35 cifre decimali di $pi$ utilizzando poligoni con più di 2 miliardi di lati. Ceulen, fiero di questo risultato, lo farà scrivere sulla sua tomba.

Sempre nell’epoca moderna vengono trovate importanti espressioni infinite:

Formula di Viète:

$2 frac {2}{sqrt2} frac {2}{sqrt {2+sqrt2}} frac {2}{sqrt {2+sqrt{2+sqrt2}}}ldots = pi$

Formula di Leibniz:

$frac{1}{1} - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} - cdots = frac{pi}{4}$

Prodotto di Wallis:

$ prod_{n=1}^{infty} frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = frac{2}{1} cdot frac{2}{3} cdot frac{4}{3} cdot frac{4}{5} cdot frac{6}{5} cdot frac{6}{7} cdot frac{8}{7} cdot frac{8}{9} cdots = frac{pi}{2} $

Nel XVIII secolo Eulero, risolvendo il problema di Basilea trovò un’altra elegante serie:

$frac{1}{1^2} + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + cdots = frac{pi^2}{6}$

Sempre al matematico svizzero è dovuta l’identità di Eulero, talvolta considerata la formula più bella di tutta la matematica,^[22] che collega $pi$ ad altre importanti costanti matematiche tra cui e e i:

$e^{i pi} = -1$

Eulero rese inoltre popolare il simbolo π, introdotto da William Jones.

Queste formule, pur essendo di scarsa o nulla utilità nel calcolo della costante matematica, hanno un importante valore estetico e rivelano collegamenti inaspettati tra varie branche della matematica.

Restava ancora in sospeso la questione della natura di $pi$ : Johann Heinrich Lambert dimostrò nel 1761 che si trattava di un numero irrazionale (si dimostrava che l’arcotangente di un qualsiasi numero razionale è irrazionale). Si veda anche dimostrazione della irrazionalità di π. Adrien-Marie Legendre dimostrò nel 1794 l’irrazionalità di ${pi}^2$ . Bisognerà tuttavia aspettare fino al 1882 perché Ferdinand von Lindemann dimostri che $pi$ è un numero trascendente, ossia non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.