Teja Krasek e Cliff Pickover, We Have Died and Gone to Mobius Heaven

Nastro di Möbius

E’ un caso della storia il fatto che il nome di Möbius sia ricordato per un oggetto topologico salottiero. Ma è tipico che Möbius abbia compiuto una semplice osservazione che chiunque avrebbe potuto fare nei duemila anni che lo hanno preceduto, ma che nessuno fece a eccezione della simultanea e indipendente scoperta di Listing.

Ian Stewart

Una strisciolina di carta, larga qualche centimetro, incollata agli estremi, dopo averne dato un mezzo giro di torsione, è una delle figure più straordinarie e sorprendenti del mondo matematico, dalle mille imprevedibili trasformazioni e applicazioni.. Si chiama nastro di Möbius e la sua popolarità è arrivata ben oltre la matematica, dapprima come semplice gioco e poi coinvolgendo maghi, artisti e scienziati. Per scoprire il grande, affascinante mondo di questa strisciolina di  carta è sufficiente, muniti di colla e forbici, avere la pazienza di costruirne una per restare sconcertati di fronte alle sue caratteristiche.

Se proviamo a percorrere con un dito la superficie dell’anello, scopriamo che ritorniamo al punto di partenza senza mai staccare il dito. Prima scoperta: l’anello di Möbius non ha due facce, una inferiore e una superiore, a differenza di un normale anello di carta, cioè di un cilindro, ha una sola superficie. Se una formica percorresse tutto l’anello, alla fine si ritroverebbe al punto di partenza, senza “salti” o “stacchi”, come accade invece su un cilindro normale. E questo ha scatenato la fantasia del “pittore matematico”  Mauritius Cornelius Escher che ha introdotto questa forma curiosa in molte sue opere. La più famosa è proprio un anello di Möbius percorso dalle formiche.

Un famoso disegno di Mauritius Cornelius Escher, Anello di Möbius II, 1963, con la processione senza fine delle formiche sulla superficie dell’anello.

Proviamo poi a tagliare l’anello a metà. Contrariamente a quanto ci potremmo aspettare, non avremo due nastri, ma uno solo più lungo. Tagliamo ancora a metà la striscia così ottenuta e, sorpresa, otteniamo due anelli concatenati. Otteniamo ugualmente due anelli tagliando l’anello di partenza a un terzo, invece che a metà, sempre nel senso della lunghezza, una è un nastro di  Möbius, l’altra è una striscia con una torsione di 360° .

Proviamo ancora a prendere due strisce di carta sovrapposte e a unirle fra loro, dopo aver dato sempre un mezzo giro di torsione, alternando le estremità delle due strisce nella chiusura (… con un po’ di pratica si capisce come fare). Potremmo pensare di ottenere in tal modo due anelli di Möbius, uno dentro l’altro, staccati fra loro. Basta invece far scorrere una matita fra i due anelli per verificare che la matita ritorna al punto di partenza senza incontrare ostacoli. Ma quando apriamo questa superficie possiamo constatare che il risultato è un unico anello, più grande naturalmente dei due che abbiamo sovrapposto all’inizio.

Sì, anche i maghi, come dicevamo all’inizio, usano i nastri di Möbius per i loro trucchi. Ce lo racconta Clifford A. Pickover nell’introduzione al suo bel libro Il nastro di Möbius, un libro che è il testo di riferimento per lo studio di questa figura:

Quando frequentavo la terza classe fui invitato alla festa di com­pleanno di un vicino dove era prevista l’esibizione di un mago. Questi, che aveva un alto cappello nero, mi diede una striscia che sembrava avesse ottenuto unendo insieme le estremità di vari nastri lucenti per for­mare un lungo anello. Di questi anelli ne aveva tre: uno rosso, uno blu e uno viola. Il nome del mago era Mister Magic, molto originale! Mister Magic sorrideva mentre disegnava una lunga linea nera a metà di ciascuna delle lunghe strisce, come la linea tratteggiata che separa le carreggiate di una strada (figura 1.1), poi mostrò le strisce agli spettatori. Un bambino le afferrò, ma Mister Magic disse ”Abbi pazienza!”

Io ero un bambino timido ed educato. Mister Magic doveva averlo capito e mi porse un paio di forbici. “Giovanotto, taglia la striscia lungo la linea” disse indicandomi la linea tratteggiata su una delle strisce. Ero eccitato e andai avanti a tagliare fino a quando raggiunsi il punto da cui ero partito. La banda rossa si divise formando due anelli completamente separati. “Forte!” dissi, ma in realtà non ero molto impressionato. Mi stavo ancora chiedendo che cosa era successo.

“Ora taglia anche gli altri due.”

Acconsentii. Dopo aver tagliato la striscia blu mi trovai con un unico nastro lungo il doppio dell’originale. Qualcuno applaudì. Il mago mi porse l’ultima striscia quella color viola. La tagliai e ottenni due anelli intrecciati, come gli anelli di una catena. Ciascun colore si era comportato in maniera del tutto differente e questo era davvero fantastico! Le strisce avevano proprietà del tutto diverse, benché a me fossero sembrate identiche. Alcuni anni più tardi, un amico mi svelò il misterioso trucco. Le strisce rossa, blu e viola erano state create in maniera diversa quando le estremità dei nastri erano state incollate. L’anello del nastro rosso era la famosa striscia di Möbius ottenuta ruotando di 180°, una rispetto all’altra, le due estremità del nastro prima di unirle insieme. Si tratta di una tipica mezza torsione. L’anello viola era ottenuto ruotando di 360° un’estremità rispetto all’altra prima di saldarle tra loro.

Attualmente questo gioco di prestigio viene chiamato trucco delle bande afgane, anche se non sono sicuro dell’origine del nome. So che il trucco che portava questo nome risale all’incirca al 1904.

Mauritius Cornelius Escher, Swans, 1956

Il lettore curioso  proseguirà per conto suo questa ricerca variando il numero di torsioni oppure dei tagli successivi del nastro con risultati sempre sorprendenti.

John Robinson, Mobius Trefoil Knot, 2006

Pickover propone la seguente regola sulle strisce con torsioni. Indichiamo con m il numero di mezze torsioni del nastro. Se m è dispari, otteniamo una superficie con una sola faccia e un solo bordo. Ma se tagliamo successivamente il nastro ha 2m + 2 mezze torsioni e se m è maggiore di 1, il risultato è un annodato.

 Alla fine dei nostri esperimenti avremo il tavolo pieno di nastri più o meno contorti e sarà anche logico che ci chiediamo quale senso possono avere.

Per primi, si sono posti questa domanda grandi matematici, ad esempio,  Carl Friedrich Gauss il quale, incuriosito dalla strana figura ne avrebbe suggerito lo studio a due suoi allievi, August Ferdinand Möbius e Johann Benedict Listing. La paternità dell’oggetto spetterebbe a Listing, che è stato il primo a pubblicare un articolo sull’argomento, e per i matematici, ieri come oggi, vale la regola che il riconoscimento di una scoperta vada a chi per primo presenta una pubblicazione al riguardo. Möbius è invece il matematico che ne approfondì lo studio, lasciando però soltanto degli appunti nel suo studio, ritrovati dopo la sua morte. Möbius scrive di aver scoperto il nastro quando aveva 68 anni, nel 1858. E’ lui ad  aver dato il nome alla celebre striscia e, in fondo, va bene così: Möbius è un nome più intrigante, quasi magico, più adatto alle magie della sua striscia di carta.

Certo non immaginava che sarebbe passato alla storia non per i suoi autorevoli lavori matematici, ma soltanto per quel semplice nastro di carta.

August Ferdinand Möbius, 1790 – 1868	Johann Benedict Listing, 1808 – 1882

La “Sindrome di Möbius” che impedisce a chi ne è colpito di sorridere, non ha nulla a che fare con il popolare nastro, se non per il fatto di essere stata scoperta da Paul Möbius , nipote del matematico. La famiglia di August Möbius ha avuto parecchi personaggi illustri. Tra questi, ricordiamo diversi letterati, un botanico, un neurologo e un archeologo.

A Listing va comunque il merito di  aver coniato il termine “topologia” per indicare quella vasta branca della matematica chiamata anche  “geometria del foglio di gomma”, poiché studia le proprietà di una figura che restano inalterate quando questa venga sottoposta a una deformazione. La topologia è parte importante della matematica moderna e non c’è modo migliore di avviarne lo studio dell’analisi del nastro di Möbius.

La Bottiglia di Klein, immagine da http://it.wikipedia.org

Accenniamo soltanto a un altro oggetto topologico straordinario, strettamente collegato al nastro di Möbius, la Bottiglia di Klein. Una bottiglia che non ha un “dentro” e un “fuori”, come il nastro di Möbius ha un’unica superficie. Si costruisce unendo i due estremi di un cilindro con una torsione, oppure unendo i margini di due nastri di Möbius fra loro, ma si può realizzare fisicamente soltanto nella quarta dimensione.

Anello di Möbius con diamanti incastonati. Immagine da http://www.ka-gold-jewelry.com	Orecchini di Möbius – Sinisa Rankov

E’ facile verificare la popolarità del nastro di Möbius controllando il numero delle pagine web segnalate da un qualsiasi motore di ricerca, dopo aver scritto, in inglese naturalmente, “Möbius ring”. E scopriamo giochi di prestigio, sculture, gioielli, musiche e applicazioni di ogni genere.

Nel suo libro, Pickover ci fa scoprire i tanti aspetti imprevedibili  di un nastro che ha portato persino a un brevetto cinese di un trenino che viaggia su binari Möbius.

Il treno di Möbius, brevetto USA n. 5.678.489, richiesto nel 1997 da Xian Wang di Changsha. Il trenino viaggia su perni magnetici che ne assicurano il contatto con i binari, in qualsiasi posizione si trovi.

Max Bill, il celebre artista svizzero, ha scritto a proposito dei nastri di Möbius: “Sono convinto che la loro efficacia stia in parte nel loro valore simbolico; essi sono modelli per la riflessione e la contemplazione”.

Quali sorprese riserva un semplice nastro di carta! “L’ovvio, diceva Voltaire, esiste solo per l’idiota”. Anche l’oggetto all’apparenza più banale, com’è appunto un nastro di carta, può riservare molte sorprese e portare a interessanti scoperte chi lo sa osservare con attenzione.

Fonte: Federico Peiretti

Progetto Polymath

Max Bill, Nastro senza fine, 1953

Una scala Möbius di Nicky Stephens

Tom Longtin, Trefoil Möbius Gear, 1997

Möbius House Ben van Berkel (UN Studio/van Berkel & Bos), 1993-1997La casa progettata e costruita da Van Berkel, ispirata al nastro di Möbius (Möbius House) è pensata come una struttura programmaticamente continua, che integra il continuo mutamento di coppie dialettiche scorrevoli che fluiscono l’una nell’altra, dall’interno all’esterno, dalle attività di lavoro a quelle del tempo libero, dalla struttura portante alla struttura non portante.

In libreria e in rete

Clifford A. Pickover, Il nastro di Möbius, Apogeo, 2006, pp. 248

Martin Gardner, Strisce di Möbius, in Show di magia matematica, Zanichelli, 1980, pp. 88 – 100

Hugo Steinhaus, Matematica per istantanee, Zanichelli, 1994, pp. 173-182

Ivars Peterson, Un giro nello spazio,  in Il turista matematico, Rizzoli, 1991, pp. 71 – 114

Michele Emmer, Il nastro di Möbius, in L’Occhio di Horus, Enciclopedia Italiana,  1989, pp.119 – 126

Maura Tomei, Buenos Aires e il nastro di Moebius: la metropolitana come luogo del mistero – Tre testi a confronto,  URANIA, aprile, 2005

La pagina della Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius

Sempre su Wikipedia “anello” (topologia):

http://it.wikipedia.org/wiki/Anello_(topologia)

La pagina dell’anello di Möbius di Base Cinque:

http://utenti.quipo.it/base5/topologia/moebius.htm

La pagina di Batmath:

http://www.batmath.it/matematica/varie/moebius/moebius.htm

La pagina di Matematita:

http://www.matematita.it/materiale/catalogo.php?parent=325

L’Anello di Möbius è una compagnia teatrale:

http://www.anellodimoebius.it/chi_siamo.html

La musica sul nastro di Möbius:

http://www.emusic.com/album/10814/10814534.html

La biografia di August Ferdinand Möbius:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Mobius.html

La biografia di Johann Benedict Listing:

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Listing.html

La pagina del Möbius ring al Mathworld:

http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html

Möbius Band al Geometry Center

http://www.geom.uiuc.edu/zoo/features/mobius/

La pagina di Alexander Bogomolny, Möbius Strip:

http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/moebius.shtml

Un applet java per studiare il nastro:

http://www.javaview.de/demo/surface/common/PaSurface_MoebiusStrip.html

Una accurata presentazione della bottiglia di Klein:

http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index-gifd.html

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VIDEO

IL NASTRO DI MOEBIUS

http://www.raiscuola.rai.it/articoli/il-nastro-di-moebius/4278/default.aspx

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