Esempi di studio di una funzione

Vediamo alcuni esempi in cui di ciascuna funzione data definiremo punto per punto sia la derivata prima che la derivata seconda.

Consideriamo la funzione y = x + 1. Essa è rappresentata nel piano cartesiano dalla retta obliqua in colore nero :

La pendenza di una retta è ovviamente costante in ogni suo punto per cui la sua derivata è costante. In questo caso, formando la retta un angolo di 45°, la derivata è uguale ad 1 in ogni punto della retta. In rosso vediamo
raffigurata la funzione derivata prima che risulta così essere y = 1. La derivata della derivata prima è la derivata seconda. Essa è rappresentata in blu ed è 0 in ogni punto perché la derivata prima, essendo una retta orizzontale, ha pendenza nulla in ogni suo punto. La derivata seconda è quindi y = 0.

Consideriamo ora la funzione y = x². Essa è rappresentata da una parabola in ogni punto della quale la pendenza
è variabile :

Nell’origine 0 la pendenza è nulla perché la tangente alla parabola è ivi orizzontale. A desta dell’origine, la pendenza è positiva e cresce via via che ci si allontana dall’origine verso destra. A sinistra, invece, la pendenza è negativa e cresce in valore assoluto più ci si allontana dall’origine verso sinistra. In rosso è rappresentata la derivata prima mentre in blu è rappresentata la derivata seconda.

Infine consideriamo la funzione y = x³ – 3x² +2x :

Anche qui abbiamo rappresentato la funzione in nero, la derivata prima in rosso e la derivata seconda in blu.

E’ molto interessante notare che nei punti A e B del grafico le tangenti alla curva sono orizzontali. In questi punti quindi la derivata prima è nulla. A sinistra di A la derivata è positiva mentre a destra è negativa. In B
avviene il contrario.  Il punto A si chiama punto di massimo relativo ed il punto B si chiama punto di minimo relativo.

Come si vede dall’esempio la derivata è uno strumento fondamentale per lo studio di una funzione, cioè per individuarne il comportamento. Dove cresce, dove decresce e dove vi sono massimi e minimi relativi.

Se la derivata è positiva, la funzione è ivi crescente, se la derivata è negativa, la funzione è decrescente. Se la derivata è nulla, lì ci può essere un massimo od un minimo relativo.

Il calcolo della derivata di una funzione data è fattibile in linea di principio sempre. Indichiamo qui alcune formule utilizzabili a questo scopo :

Nel caso della funzione y = x³ – 3x² +2x il calcolo della derivata prima è il seguente :

y ‘ = 3x² – 6x + 2

mentre per la derivata seconda :

y ” = 6x – 6

Si noti che la derivata di una somma di termini si fa sommando le derivate di ciascun termine. Si noti anche che la derivata prima di y = f(x) si può indicare semplicemente col simbolo y ‘ mentre la derivata seconda
col simbolo y ”.

—

Esercizio:

Determinare l’insieme di definizione della funzione

È una funzione trascendente esponenziale:
D = (-¥, +¥)

Ricercare le eventuali simmetrie e periodicità

f(-x) ¹ ±f(x)

la funzione non è né pari, né dispari
La funzione non è periodica poiché non contiene elementi di periodicità

Studiare il segno della funzione e determinare le intersezioni con gli assi

f(x) > 0            per x > 0

la funzione esponenziale è strettamente positiva

il grafico della funzione passa per il punto O(0, 0)

grafico parziale

Calcolare i limiti nei punti di frontiera dell’insieme di definizione e determinare gli eventuali asintoti

è una forma di indecisione del tipo [-¥ · 0]

per la scala degli infiniti il denominatore è infinito di ordine superiore rispetto al numeratore per x ® -¥
y = 0 è l’equazione di un asintoto orizzontale per x ® -¥

essendo verificata la condizione necessaria, non sufficiente,
per l’esistenza dell’asintoto obliquo
a +¥ si procede nella ricerca:
la funzione non presenta asintoto obliquo

grafico parziale

Studiare la continuità della funzione e individuare gli eventuali punti di discontinuità
La funzione è continua poiché composizione di funzioni continue

Calcolare la derivata prima

– determinare l’insieme di definizione della derivata prima

D_f ‘(x) = D
La funzione è derivabile in tutto il proprio insieme di definizione

– studiare il segno della derivata prima

f ‘(x) > 0            1 + x > 0            x > -1

la funzione esponenziale è strettamente positiva

– determinare gli intervalli nei quali la funzione è crescente o decrescente

la funzione è crescente per x > -1

la funzione è decrescente per x < -1

– ricercare gli eventuali massimi e minimi, relativi o assoluti

x = -1 è punto di minimo assoluto f(-1) = –e^-2

grafico parziale

studiare il comportamento della funzione negli eventuali punti di non derivabilità

-determinare eventuali cuspidi, punti angolosi o flessi a tangente verticale

Non ce ne sono poiché la funzione è derivabile in tutto il proprio insieme di definizione

Calcolare la derivata seconda

– studiare il segno della derivata seconda

f “(x) > 0            x + 2 > 0            x > -2

– determinare gli intervalli nei quali la funzione è convessa o concava

la funzione è concava per x < -2

la funzione è convessa per x > -2

– ricercare gli eventuali punti di flesso a tangente non verticale

x = -2 è punto di flesso ascendente a tangente obliqua
f(-2) = -2·e^-3

Tracciare il grafico

Determinare l’immagine della funzione f (x): Im f

Im f = [-e^-2, +¥)

—

Schema sintetico dello studio di una funzione

In forma più sintetica, i passi per lo studio di una funzione sono riassumibile nel seguente schema:

– Individuare il dominio della funzione.

Terminologia:

1. L’elemento prende il nome di immagine dell’elemento x tramite la funzione f.
2. L’elemeno x si chiama controimmagine di y.
3. L’insieme A prende il nome di dominio, o insieme di definizione, o insieme di esistenza della funzione, mentre l’insieme B prende il nome di insieme di arrivo della f.
4. L’insieme delle immagini, indicato con prende il nome di codominio della funzione.

Osservazioni: Non tutti gli elementi di B devono necessariamente essere l’immagine di un elemento di A, ci possono essere elementi di B che non fanno parte di e per tale ragione il codominio della funzione è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo, cioè .

Definizione: Una funzione si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine.

– Ricercare eventuali simmetrie:

Se f(-x)=f(x) si ha che la funzione è pari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate;

Definizione: Una funzione di dominio D si dice pari ,ovvero simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, se per ogni si ha:

se f(-x)=-f(x)  si ha che la funzione è dispari, quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi.

Definizione: Una funzione di dominio D si dice dispari, ovvero simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, se per ogni si ha:

“Come stabilire se una funzione è pari o dispari?”

Basta sostituire nella funzione al posto della variabile x il valore -x e si possono verificare le tre seguenti situazioni:

• la funzione ottenuta è identica a quella di partenza funzione pari;
• la funzione ottenuta è opposta a quella di partenza funzione dispari;
• la funzione ottenuta non è nè identica, nè opposta a quella di partenza funzione né pari né dispari.

Esempi:

1. La funzione è pari in quanto .
2. La funzione è dispari in quanto .
3. La funzione non è né pari né dispari in quanto .

– Calcolare le coordinate dei punti di intersezione della curva con gli assi cartesani.

– Individuare il comportamento della funzione agli estremi del suo dominio e ricerca di eventuali asintoti orizzontali, verticali o obliqui.

– Studio del segno della funzione, per determinare in quali regioni del dominio la funzione è positiva o negativa.

– Calcolo della derivata prima della funzione per determinare:

i punti a valore stazionario (f'(x)=0),

gli intervalli del dominio in cui la funzione è crescente o decrescente (studiando il segno di f'(x)),

individuazione dei punti di massimo o di minimo.

– Calcolo della derivata seconda per  evidenziare:

concavità della curva (studiando il segno i f”(x))

punti di flesso.

—

Antonio De Lisa – Segni, Suoni, Scritture / Signs, Sounds, Writings
© 2000-18

---

Sede e Contatti – Location and Contacts: Antonio De Lisa
c/o LOST ORPHEUS MULTIMEDIA – Via del Popolo, 127/129
85100 POTENZA (ITALY) (0)39- 097137457 / Cell. 3333878854

Site: www.adelisa.it

E-mail: lostorpheusmedia@gmail.com

---

Testi pubblicati per studio e ricerca – Uso non commerciale
Texts published  for study and research-non-commercial use

This opera is licensed under a Creative Commons Attribuzione – Condividi allo stesso modo 3.0 Unported License.

Categorie:Uncategorized

Tag:Analisi matematica, Studio di una funzione